28. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A=1/7, АС = 4√3. Найдите АВ.

Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, $$sin A = \frac{BC}{AB}$$.

Найдем BC. По теореме Пифагора: $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$$. Следовательно, $$sin A = \frac{\sqrt{AB^2 - AC^2}}{AB}$$. Возведем в квадрат обе части: $$sin^2 A = \frac{AB^2 - AC^2}{AB^2} = 1 - \frac{AC^2}{AB^2}$$.

Выразим AB^2: $$\frac{AC^2}{AB^2} = 1 - sin^2 A = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$$.

$$AB^2 = \frac{49 \cdot AC^2}{48} = \frac{49 \cdot (4\sqrt{3})^2}{48} = \frac{49 \cdot 16 \cdot 3}{48} = \frac{49 \cdot 48}{48} = 49$$.

$$AB = \sqrt{49} = 7$$.

Ответ: 7