25. ∫((√x-1)³)/x dx.

Для решения интеграла ∫((√x - 1)³)/x dx необходимо упростить выражение.

(√x - 1)³ = (√x)³ - 3(√x)² + 3√x - 1 = x√x - 3x + 3√x - 1

((√x - 1)³)/x = (x√x - 3x + 3√x - 1)/x = x√x/x - 3x/x + 3√x/x - 1/x = √x - 3 + 3/√x - 1/x

∫(√x - 3 + 3/√x - 1/x) dx = ∫√x dx - 3∫1 dx + 3∫1/√x dx - ∫1/x dx

1. ∫√x dx = ∫x^(1/2) dx = (2/3)x^(3/2) + C₁ = (2/3)x√x + C₁
2. ∫1 dx = x + C₂
3. ∫1/√x dx = ∫x^(-1/2) dx = 2x^(1/2) + C₃ = 2√x + C₃
4. ∫1/x dx = ln|x| + C₄

Складываем результаты:

(2/3)x√x - 3x + 3 * 2√x - ln|x| + C = (2/3)x√x - 3x + 6√x - ln|x| + C

где C = C₁ - 3C₂ + 3C₃ - C₄ - общая константа интегрирования.

Ответ: (2/3)x√x - 3x + 6√x - ln|x| + C