23. ∫eˣ(1 + e⁻ˣ/cos² x) dx.

Для решения интеграла ∫eˣ(1 + e⁻ˣ/cos² x) dx необходимо упростить выражение.

eˣ(1 + e⁻ˣ/cos² x) = eˣ + eˣe⁻ˣ/cos² x = eˣ + 1/cos² x

∫(eˣ + 1/cos² x) dx = ∫eˣ dx + ∫1/cos² x dx

1. ∫eˣ dx = eˣ + C₁
2. ∫1/cos² x dx = tan x + C₂

Складываем результаты:

eˣ + tan x + C

где C = C₁ + C₂ - общая константа интегрирования.

Ответ: eˣ + tan x + C