2. ∫(x²+3x³+x+1)dx.

Для решения интеграла ∫(x²+3x³+x+1)dx, необходимо найти первообразную каждого слагаемого и применить правило интегрирования степенной функции.

∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C, где C - константа интегрирования.

1. ∫x² dx = (x³)/3 + C₁
2. ∫3x³ dx = 3 ∫x³ dx = 3 * (x⁴)/4 + C₂ = (3x⁴)/4 + C₂
3. ∫x dx = (x²)/2 + C₃
4. ∫1 dx = x + C₄

Объединим полученные результаты:

∫(x²+3x³+x+1)dx = (x³)/3 + (3x⁴)/4 + (x²)/2 + x + C

где C = C₁ + C₂ + C₃ + C₄ - общая константа интегрирования.

Ответ: (x³)/3 + (3x⁴)/4 + (x²)/2 + x + C