6. ∫eˣ(2-e⁻ˣ/x³)dx.

Для решения интеграла ∫eˣ(2 - e⁻ˣ/x³) dx, необходимо раскрыть скобки и упростить выражение.

∫eˣ(2 - e⁻ˣ/x³) dx = ∫(2eˣ - eˣe⁻ˣ/x³) dx = ∫(2eˣ - 1/x³) dx

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

1. ∫2eˣ dx = 2∫eˣ dx = 2eˣ + C₁
2. ∫(-1/x³) dx = -∫x⁻³ dx = - (x⁻²)/(-2) + C₂ = 1/(2x²) + C₂

Складываем полученные результаты:

∫(2eˣ - 1/x³) dx = 2eˣ + 1/(2x²) + C

где C = C₁ + C₂ - общая константа интегрирования.

Ответ: 2eˣ + 1/(2x²) + C