8. ∫(sin(x/2)+cos(x/2))² dx.

Для решения интеграла ∫(sin(x/2) + cos(x/2))² dx необходимо раскрыть квадрат и упростить выражение.

(sin(x/2) + cos(x/2))² = sin²(x/2) + 2sin(x/2)cos(x/2) + cos²(x/2)

Используем тригонометрические тождества: sin²(x) + cos²(x) = 1 и 2sin(x)cos(x) = sin(2x)

sin²(x/2) + cos²(x/2) = 1

2sin(x/2)cos(x/2) = sin(2 * x/2) = sin(x)

Таким образом, ∫(sin(x/2) + cos(x/2))² dx = ∫(1 + sin(x)) dx

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

1. ∫1 dx = x + C₁
2. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C₂

Складываем полученные результаты:

∫(1 + sin(x)) dx = x - cos(x) + C

где C = C₁ + C₂ - общая константа интегрирования.

Ответ: x - cos(x) + C