3. ∫(x⁴+⁵√x + 3√x+1/x²+¹)dx.

Для решения интеграла ∫(x⁴ + 5√x + 3√x + 1/(x²+1)) dx необходимо проинтегрировать каждое слагаемое по отдельности.

1. ∫x⁴ dx = (x⁵)/5 + C₁
2. ∫5√x dx = 5 ∫x^(1/2) dx = 5 * (x^(3/2))/(3/2) + C₂ = (10/3)x^(3/2) + C₂
3. ∫3√x dx = 3 ∫x^(1/2) dx = 3 * (x^(3/2))/(3/2) + C₃ = 2x^(3/2) + C₃
4. ∫(1/(x²+1)) dx = arctg(x) + C₄

Складываем полученные интегралы:

∫(x⁴ + 5√x + 3√x + 1/(x²+1)) dx = (x⁵)/5 + (10/3)x^(3/2) + 2x^(3/2) + arctg(x) + C = (x⁵)/5 + (16/3)x^(3/2) + arctg(x) + C

где C = C₁ + C₂ + C₃ + C₄ - общая константа интегрирования.

Ответ: (x⁵)/5 + (16/3)x^(3/2) + arctg(x) + C