10. ∫x⁴/(1+x²) dx.

Для решения интеграла ∫x⁴/(1+x²) dx необходимо выполнить деление многочленов в столбик.

x⁴ = (x² - 1)(x² + 1) + 1

x⁴/(1+x²) = (x² - 1) + 1/(1+x²)

∫x⁴/(1+x²) dx = ∫(x² - 1 + 1/(1+x²)) dx = ∫x² dx - ∫1 dx + ∫1/(1+x²) dx

1. ∫x² dx = (x³)/3 + C₁
2. ∫1 dx = x + C₂
3. ∫1/(1+x²) dx = arctg(x) + C₃

Складываем результаты:

(x³)/3 - x + arctg(x) + C

где C = C₁ - C₂ + C₃ - общая константа интегрирования.

Ответ: (x³)/3 - x + arctg(x) + C