15. Упростить выражение: \(\frac{ g\alpha+\ctg\beta}{\cos(\alpha-\beta)}\cdot\sin\alpha\sin\beta\).

Перепишем числитель через синус и косинус: \( g\alpha+\ctg\beta=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\beta}{\sin\beta}=\frac{\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\sin\beta}\).

По формуле косинуса разности числитель равен \(\cos(\alpha-\beta)\). После сокращения на \(\cos(\alpha-\beta)\) и умножения на \(\sin\alpha\sin\beta\) остаётся \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

Ответ: \( g\alpha\).