19. Доказать тождество: \(\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta\).

Раскроем произведение левой части по формулам синуса суммы и разности:

\(\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)=(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\).

По формуле \((u-v)(u+v)=u^2-v^2\) это равно \(\sin^2\alpha\cos^2\beta-\cos^2\alpha\sin^2\beta\).

Подставим \(\cos^2x=1-\sin^2x\): выражение равно \(\sin^2\alpha(1-\sin^2\beta)-(1-\sin^2\alpha)\sin^2\beta=\sin^2\alpha-\sin^2\beta\).

Получено тождественно выражение правой части, что и требовалось доказать.