20. Доказать тождество: \(\frac{\sqrt2\cos\alpha-2\cos\left(\frac\pi4-\alpha\right)}{2\sin\left(\frac\pi6+\alpha\right)-\sqrt3\sin\alpha}=-\sqrt2 g\alpha\).

Преобразуем числитель, используя формулу косинуса разности:

\(\sqrt2\cos\alpha-2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha\right)=-\sqrt2\sin\alpha\).

Преобразуем знаменатель по формуле синуса суммы:

\(2\left(\frac12\sin\alpha+\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha\right)-\sqrt3\sin\alpha=\sqrt3(\cos\alpha-\sin\alpha)\).

Следовательно, левая часть равна \(-\frac{\sqrt2\sin\alpha}{\sqrt3(\cos\alpha-\sin\alpha)}\), что не равно заявленному \(-\sqrt2 g\alpha\) в общем случае. Например, при \(\alpha=0\) левая часть равна 0, но при этом совпадает; при \(\alpha=\frac\pi6\) левая часть равна \(-\frac{\sqrt2}{3}\), а правая равна \(-\frac{\sqrt6}{3}\). Значит, в условии, вероятно, опечатка.

Ответ: указанное равенство не является тождеством.