8.5. sin 2x + 2 cos 2x = 1;

Это однородное уравнение вида a sin(2x) + b cos(2x) = c. Используем метод вспомогательного угла. Разделим обе части на √(1² + 2²) = √5. Получим (1/√5)sin 2x + (2/√5)cos 2x = 1/√5. Пусть cos φ = 1/√5 и sin φ = 2/√5. Тогда уравнение примет вид cos φ sin 2x + sin φ cos 2x = 1/√5, что равно sin(2x + φ) = 1/√5. Находим 2x + φ = arcsin(1/√5) + 2πn или 2x + φ = π - arcsin(1/√5) + 2πn.