11. Найдите корень уравнения \(3^{2x-19} = \frac{1}{27}\).

Краткое пояснение:

Для решения уравнения необходимо представить обе его части как степени с одинаковым основанием. Число 27 можно представить как \(3^{3}\), а \(\frac{1}{27}\) как \(3^{-3}\).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Представим \(\frac{1}{27}\) как степень числа 3: \( \frac{1}{27} = \frac{1}{3^{3}} = 3^{-3} \).
2. Шаг 2: Перепишем уравнение с одинаковым основанием: \( 3^{2x-19} = 3^{-3} \).
3. Шаг 3: Приравняем показатели степеней: \( 2x-19 = -3 \).
4. Шаг 4: Решим линейное уравнение: \( 2x = -3 + 19 \).
5. Шаг 5: Упростим: \( 2x = 16 \).
6. Шаг 6: Найдем \(x\): \( x = \frac{16}{2} = 8 \).

Ответ: 8