8. Найдите корень уравнения \(5^{5-7x} = \frac{1}{125}\).

Краткое пояснение:

Для решения уравнения приведем обе его части к одному основанию. Число 125 можно представить как \(5^{3}\), а \(\frac{1}{125}\) как \(5^{-3}\).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Представим \(\frac{1}{125}\) как степень числа 5: \( \frac{1}{125} = \frac{1}{5^{3}} = 5^{-3} \).
2. Шаг 2: Перепишем уравнение с одинаковым основанием: \( 5^{5-7x} = 5^{-3} \).
3. Шаг 3: Приравняем показатели степеней: \( 5-7x = -3 \).
4. Шаг 4: Решим линейное уравнение: \( -7x = -3 - 5 \).
5. Шаг 5: Упростим: \( -7x = -8 \).
6. Шаг 6: Найдем \(x\): \( x = \frac{-8}{-7} = \frac{8}{7} \).

Ответ: \(\frac{8}{7}\)