12. Вычислить tg (arcsin \( \frac{\sqrt{7}}{4} \)).

Решение:

Пусть \( \alpha = \text{arcsin } \frac{\sqrt{7}}{4} \). Тогда \( \text{sin } \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4} \), где \( \alpha \) — угол из интервала \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \).

Так как \( \text{sin } \alpha > 0 \), то \( \alpha \) находится в первой четверти, то есть \( \alpha \in [0, \frac{\pi}{2}] \). В этой четверти \( \text{cos } \alpha > 0 \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \text{sin}^2 \alpha + \text{cos}^2 \alpha = 1 \).

\[ \text{cos}^2 \alpha = 1 - \text{sin}^2 \alpha = 1 - \left( \frac{\sqrt{7}}{4} \right)^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{16-7}{16} = \frac{9}{16} \]

\[ \text{cos } \alpha = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \] (так как \( \text{cos } \alpha > 0 \)).

Теперь найдём тангенс:

\[ \text{tg } \alpha = \frac{\text{sin } \alpha}{\text{cos } \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3} \]

Ответ: $$\frac{\sqrt{7}}{3}$$