16. Упростить выражение 2arctg (tg \( \frac{\pi}{3} \)).

Решение:

По определению арктангенса, \( \text{arctg(tg } x) = x \) для \( x \) из интервала \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \).

Угол \( \frac{\pi}{3} \) принадлежит этому интервалу.

Следовательно, \( \text{arctg(tg } \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} \).

Умножим на 2:

\[ 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \]

Ответ: $$\frac{2\pi}{3}$$