13. Доказать, что при любом \( a \in R \) справедливо равенство \( \cos (\text{arctg } a) = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} \).

Доказательство:

Пусть \( \alpha = \text{arctg } a \). По определению арктангенса, \( \text{tg } \alpha = a \), где \( \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \).

Так как \( \alpha \) находится в интервале \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \), то \( \text{cos } \alpha \) всегда положителен.

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество: \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\text{cos}^2 \alpha} \).

Подставим \( \text{tg } \alpha = a \):

\[ 1 + a^2 = \frac{1}{\text{cos}^2 \alpha} \]

Отсюда выразим \( \text{cos}^2 \alpha \):

\[ \text{cos}^2 \alpha = \frac{1}{1+a^2} \]

Так как \( \text{cos } \alpha > 0 \), то извлечём квадратный корень:

\[ \text{cos } \alpha = \sqrt{\frac{1}{1+a^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} \]

Поскольку \( \alpha = \text{arctg } a \), получаем:

\[ \text{cos } (\text{arctg } a) = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} \]

Что и требовалось доказать.