19. Упростить выражение 5arctg (sin \( \frac{\pi}{3} \)).

Решение:

Сначала вычислим значение синуса:

\[ \text{sin } \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь выражение имеет вид: \( 5 \text{arctg } \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \).

Значение \( \text{arctg } \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \) не является стандартным углом, поэтому выражение остаётся в таком виде.

Ответ: $$5 \text{arctg } \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$