15. Вычислить sin (arctg \( \frac{3}{4} \)).

Решение:

Пусть \( \alpha = \text{arctg } \frac{3}{4} \). Тогда \( \text{tg } \alpha = \frac{3}{4} \), где \( \alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \).

Так как \( \text{tg } \alpha > 0 \), то \( \alpha \) находится в первой четверти, то есть \( \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) \). В этой четверти \( \text{sin } \alpha > 0 \) и \( \text{cos } \alpha > 0 \).

Воспользуемся тождеством \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\text{cos}^2 \alpha} \):

\[ 1 + \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{1}{\text{cos}^2 \alpha} \]

\[ 1 + \frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16} = \frac{1}{\text{cos}^2 \alpha} \]

\[ \text{cos}^2 \alpha = \frac{16}{25} \]

\[ \text{cos } \alpha = \frac{4}{5} \] (так как \( \text{cos } \alpha > 0 \)).

Теперь найдём синус:

\[ \text{sin } \alpha = \text{tg } \alpha \cdot \text{cos } \alpha = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} \]

Ответ: $$\frac{3}{5}$$