14. Вычислить cos (arctg 0,5).

Решение:

Используем доказанную формулу из предыдущего задания: \( \cos (\text{arctg } a) = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} \).

Подставим \( a = 0.5 \):

\[ \cos (\text{arctg } 0.5) = \frac{1}{\sqrt{1+(0.5)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+0.25}} = \frac{1}{\sqrt{1.25}} \]

Преобразуем корень:

\[ \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{125}{100}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]

Тогда:

\[ \frac{1}{\sqrt{1.25}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Ответ: $$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$