18. Упростить выражение 5arctg (tg \( \frac{9\pi}{8} \)).

Решение:

Угол \( \frac{9\pi}{8} \) не принадлежит интервалу \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \). Необходимо привести его к этому интервалу.

\( \frac{9\pi}{8} = \pi + \frac{\pi}{8} \).

Тангенс имеет период \( \pi \), поэтому \( \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) \).

Следовательно, \( \text{tg}(\frac{9\pi}{8}) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{8}) = \text{tg}(\frac{\pi}{8}) \).

Теперь угол \( \frac{\pi}{8} \) принадлежит интервалу \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \).

Таким образом, \( \text{arctg(tg } \frac{9\pi}{8}) = \text{arctg(tg } \frac{\pi}{8}) = \frac{\pi}{8} \).

Умножим на 5:

\[ 5 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{5\pi}{8} \]

Ответ: $$\frac{5\pi}{8}$$