2. Задача: Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Пусть угол A равен углу C. Рассмотрим внешний угол при вершине B, и пусть BD — биссектриса этого внешнего угла. Нужно доказать, что BD || AC.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны: \(\angle A = \angle C\).
2. Внешний угол при вершине B равен сумме углов A и C: \(\angle DBC + \angle DBA = \angle A + \angle C\).
3. Так как BD — биссектриса внешнего угла при вершине B, то \(\angle DBC = \angle DBA\). Следовательно, \(2 \cdot \angle DBC = \angle A + \angle C\).
4. Так как \(\angle A = \angle C\), то \(2 \cdot \angle DBC = 2 \cdot \angle A\), и \(\angle DBC = \angle A\).
5. Углы DBC и A являются соответственными углами при прямых BD и AC и секущей AB. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, BD || AC.