16. Задача: В треугольнике АВС отрезки АА₁ и СС₁ являются высотами. Угол А = 80°, угол С = 70°; высоты пересекаются в точке О. Найти величину угла АОС.

Пошаговое решение:

1. Найдем угол B треугольника ABC: \(\angle B = 180 - (\angle A + \angle C) = 180 - (80 + 70) = 30\)°.
2. Высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке O. Рассмотрим четырехугольник A1BCO. Углы BA1O и BCO прямые (так как AA1 и CC1 — высоты).
3. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, \(\angle A1OC = 360 - (\angle BA1O + \angle BCO + \angle ABC) = 360 - (90 + 90 + 30) = 150\)°.
4. Углы A1OC и AOC являются смежными, поэтому \(\angle AOC = 180 - \angle A1OC = 180 - 150 = 30\)°.

Ответ: 30°