12. Задача: Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине в точке О. Доказать, что прямые АС и BD параллельны.

Доказательство:

1. Так как O — середина отрезков AB и CD, то AO = OB и CO = OD.
2. Углы AOC и BOD вертикальные, следовательно, \(\angle AOC = \angle BOD\).
3. Рассмотрим треугольники AOC и BOD. У них:
   • AO = OB
   • CO = OD
   • \(\angle AOC = \angle BOD\)

Следовательно, треугольники AOC и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Значит, \(\angle CAO = \angle DBO\). Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых AC и BD и секущей AB.

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AC || BD.