4. Задача: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О, угол АОС = 110°. Найти углы треугольника АВС.

Пошаговое решение:

1. Так как AO и CO — биссектрисы углов A и C, то \(\angle OAC = \frac{1}{2} \angle A\) и \(\angle OCA = \frac{1}{2} \angle C\).
2. В треугольнике AOC сумма углов равна 180°, следовательно, \(\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180\)°.
3. Значит, \(\angle OAC + \angle OCA = 180 - \angle AOC = 180 - 110 = 70\)°.
4. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны, то есть \(\angle A = \angle C\), и \(\angle OAC = \angle OCA\).
5. Следовательно, \(\angle A = \angle C = 2 \cdot \angle OAC = 2 \cdot \angle OCA\). Значит, \(\angle A = \angle C = 2 \cdot 70 = 140\)°.
6. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, следовательно, \(\angle B = 180 - (\angle A + \angle C) = 180 - (70 + 70) = 40\)°.

Ответ: \(\angle A = 70\)°, \(\angle C = 70\)°, \(\angle B = 40\)°