22. 3) y=x³-x, y=0, x=-1 и x=1

Найдем корни уравнения $$x^3-x=0$$: $$x(x^2-1)=0$$, $$x(x-1)(x+1)=0$$, $$x=0, x=1, x=-1$$.

Площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=x^3-x$$, $$y=0$$, $$x=-1$$, $$x=1$$ равна сумме интегралов от $$-1$$ до $$0$$ функции $$x^3-x$$ по $$dx$$ и от $$0$$ до $$1$$ функции $$x^3-x$$ по $$dx$$.

$$\( \int_{-1}^{0} (x^3-x) dx + \int_{0}^{1} (x^3-x) dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} + [\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}]_{0}^{1} = (0 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})) + ((\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) - 0) = -(-\frac{1}{4}) + (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 \)$$

Однако, площадь фигуры, ограниченной $$y=x^3-x$$, $$y=0$$, $$x=-1$$, $$x=1$$ следует вычислять как сумму площадей над и под осью $$x$$.

$$\( |\int_{-1}^{0} (x^3-x) dx| + |\int_{0}^{1} (x^3-x) dx| = |\frac{1}{4}| + |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \)$$